指数类巨灾保险产品设计逻辑及自动化解决方案

与补偿型保险产品相比，指数类保险产品的理赔过程更便捷，能够提高赔款的给付效率和救灾重建工作的时效性。在实践中，如何尽可能地减少基差风险一直是设计该类保险产品面临的最大挑战。

本文讨论了以“小灾小赔，大灾大赔”为理念的指数类巨灾产品设计逻辑，详细阐述了在产品设计时基于灾害强度等级、赔付金额及其他限制因素的考量。与此同时，本文深入探讨了如何将该设计逻辑通过数学语言抽象化，转化为数学优化问题，并基于合适的优化算法得到“最优”的产品结构，将指数类保险产品设计自动化、智能化。最后通过验证，证明了该方法的有效性及高效性。

2013年，党的十八届三中全会《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》中提出了“完善保险经济补偿机制，建立巨灾保险制度”。同年9月，保监会响应党中央的指导意见，批准在云南省和深圳市进行巨灾保险试点。2014年，《国务院关于加快发展现代保险服务业的若干意见》中进一步提出了“建立巨灾保险制度，鼓励各地根据风险特点，探索对台风、地震、滑坡、泥石流、洪水、森林火灾等灾害的有效保障模式”。同年，在深圳市试点的综合性巨灾保险落地；2015年，云南省试点的地震巨灾保险在大理落地。2016年，《国务院政府工作报告》中再次强调了“建立自然灾害保险制度”；2017年1月，《中共中央国务院关于推进防灾减灾救灾体制机制改革的意见》中进一步明确了“充分发挥市场机制作用。坚持政府推动、市场运作原则，强化保险等市场机制在风险防范、损失补偿、恢复重建等方面的积极作用，不断扩大保险覆盖面，完善应对灾害的金融支持体系”“鼓励各地结合灾害风险特点，探索巨灾风险有效保障模式”。发展巨灾保险更是被写入了我国的“十四五”规划，成为完善国家应急管理体系，提高防灾、减灾、抗灾、救灾能力的重要组成部分。在此过程中，各地方政府也先后试点，甚至在全省范围内全面铺开由政府主导的巨灾保险保障。在不到10年的时间里，我国完成了从巨灾保险的提出到明确的政策引导和制度设计的过程，形成了政府主导、各方参与、市场驱动、人民受益的发展格局。

自2013年国家释放鼓励巨灾保险的信号开始，各保险公司积极行动、迅速反应，在巨灾保险领域就制度及产品设计等议题进行了广泛而深入的探讨，不同形式的巨灾保险方案也应运而生。2016年，广东省政府在10个试点地市政府落地了财政风险巨灾指数保险试点方案。该方案解决了地方政府涉灾财政预算波动和缺口的难题，确保政府遇灾时具备充足的资金实现迅速恢复人民生活、生产就业、公共服务的社会责任。这也是我国巨灾保险发展进程中保障方式由补偿型到指数型的创新。这里的“指数”指某种灾害强度的表征指标，如地震震级、台风风速、降雨雨量等。指数保险的赔偿不是基于被保险人的实际损失，而是基于预先定义的灾害强度是否达到触发水平，以此来决定赔付额度。诚然，该赔付机制容易产生赔付金额与实际损失不相符的问题，我们称为基差风险。基差风险不可能完全消除，这就要求我们在设计指数产品时应尽可能地预估不同灾害强度的损失情况及对应的赔付金额，尽量降低基差风险带来的误差。最终，达到灾害强度低、损失小，则赔付金额少；灾害强度高、损失大，则赔付金额多的目的。

从“小灾小赔，大灾大赔”的设计理念出发，指数保险的产品设计一般采用分层赔付的形式。其中，对应“小灾小赔”的赔付层，作为判赔标准的灾害强度等级和相应赔付金额相对较低，因此这部分赔付层更易触发，以保障影响较小但发生频率较高的事件。相比之下，“大灾大赔”的赔付层则针对影响较大但发生频率较低的、更符合巨灾特征的事件。这些赔付层通常使用较高灾害强度等级作为判赔标准，因此触发频率较低，但一旦触发，被保险人将获得更高的赔付金额，以补偿事件造成的更大损失。

表1展示了某地降雨指数保险的赔付方案，其中降雨强度以3日连续累计降雨量衡量。从表1可以看出，赔付结构中每一层的灾害强度等级为降雨量上下限构成的一个区间，与之对应的是赔付金额上下限构成的一个区间。在一次降雨事件中，如果最大3日连续累计降雨量落入某一赔付层的降雨量区间，其赔付金额可由对应赔付金额区间的线性插值进行计算。例如，若事件降雨量为450毫米，则该事件对应倒数第二个赔付层，通过插值得到其赔付金额应为9000万元。表1所展示的赔付层分别代表了上文提到的“小灾小赔”与“大灾大赔”（当然，未展示的中间层也遵循相同原理）。其中，对应100~200毫米的降雨量事件的赔付金额从零元到1200万元不等，其赔付金额较小却在近20年中触发赔付17次；而400毫米以上的降雨量事件的赔付金额则高达8000万~1亿元，但在近20年中仅触发1次。

此外，在赔付结构的设计中，每层赔付金额与灾害的强度等级需一一对应，并且均呈现单调递增的趋势。与此同时，应确保赔付结构中层与层之间的连续性，即前面一层的上限应等于其后面一层的下限。而最顶层（相应灾害等级最高的层）中的最大赔付金额则是该指数结构的保额。以上可以称为赔付结构的特性。以下将详细描述确定每层的强度等级和赔付金额的逻辑及方法。

基于灾害强度的考量

灾害的强度等级作为指数类巨灾保险产品的判赔标准，取值的合理性直接影响基差风险。若取值过小，则容易出现灾害事件没有损失却有赔付的情况，反之则相反。选取适中的强度等级应遵循“因地制宜”的原则，将全国各地灾害风险的空间分布以及不同城市基础设施建设、防灾减灾体系的差异性等因素考虑在内。以降雨为例，我国降水量的分布在空间上主要遵循东多西少、从西北内陆向东南沿海逐渐增加的规律。与此同时，不同城市的防涝基础设施（如排水管网、排涝泵站等）的设计标准也参考了当地的降雨量，致使相同降雨量造成的事件影响也可能截然不同。因此，在不同区域，可以引发灾害性事件的降雨量标准也是显著不同的。

以2017年内蒙古通辽市的一起极端强降雨事件为例，超过250毫米/日降雨量的特大暴雨为内蒙古有气象记录以来监测到的最大降雨事件¹。该事件导致全市房屋倒塌185间，受灾农田46.3万亩，损毁棚舍2638间，损毁道路453公里，直接经济损失达5亿元以上²。而反观广东省，根据其2020年的水旱灾情公报，在“龙舟水”期间，单日最大降雨量与内蒙古强降雨相当的珠海市和汕头市，甚至没有出现直接经济损失³。虽然洪涝损失不仅只受到最大日降雨量的影响，还与整个降雨过程变化、小时雨强、地形地貌等因素息息相关，但以上案例也能从侧面印证强度等级的取值应“因地制宜”，需综合考虑当地降雨量及其可能带来的损失情况。

目前，比较行之有效的方法是基于当地降雨强度等级的回归期进行取值。举例来说，可以假设第一层降雨量下限是回归期为1年的降雨量，上限是回归期为3年的降雨量，依此类推。若用此逻辑设计上述内蒙古与广东地区的赔付结构，其第一层的降雨量（以3日连续累计降雨量定义）分别为[61毫米，84毫米]及[240毫米，320毫米]^①。显然，对于降雨较少的地区，触发赔付的降雨量也相应较小；而对于同等规模的降雨量，其在内蒙古地区所适用的赔付结构层会高于广东地区，即该规模的降雨量在内蒙古地区代表的灾害严重程度更高。另外值得一提的是，从统计角度来看，使用回归期进行产品设计间接决定了产品的赔付频率。若第一层降雨量下限对应的回归期为1年，则该层的平均触发频率为1年1次。请注意，此处的触发频率为平均值，不代表每年一定会触发。在保险产品设计的实际操作中，考虑到其他限制因素，我们会基于经验对各层降雨量上下限预先设定一个合理的回归期区间，而非定值。例如，第一层降雨量下限的回归期区间为1~2年，上限的回归期区间为2~4年，依此类推。

基于赔付金额的考量

对于指数类巨灾保险产品中赔付的金额，应该考虑实际的灾损情况。考虑到各地的经济发展水平不同，即使是相同回归期的降雨强度，造成的损失也可能不尽相同。即使对于同一地点，影响灾害损失的也可能不仅只有上述赔付结构中用到的强度等级，还与整个灾害过程中的其他因素有关。

由于上述其他影响因素的不确定性，每个强度等级都应对应一个损失值的区间。以降雨为例，图1绘制了两个潜在的单日内降雨过程，其累计降雨量相同，都为200毫米。因此，它们具有相同的强度等级。实线代表了一个相对较为均匀的降雨过程，每小时降雨量在8.7毫米上下小幅波动。作为比较，虚线则展示了一个持续5小时的短时强降雨事件，但是，这个降雨过程中的小时降雨量平均为40毫米，最大为51.3毫米。实际上，虽然这两个过程中的累计降雨量相同，但后者通常会造成更大的破坏，因为它会给城市防涝系统在短时间内造成巨大的负荷，甚至导致崩溃。

因此，我们在设计指数类巨灾保险产品时，需要综合考虑当地典型的灾害过程、基础设施建设、经济发展情况、防灾减灾手段、财产分布情况这些因素带来的损失值的变化，进而确定相应的赔付金额。仍以降雨为例，在确定赔付结构中的降雨值区间后，需要结合历史损失经验，对于每个区间内的降雨值，预先选取合适的赔付金额区间。例如，回归期为1年的降雨事件，其损失范围可以是[0，500000元]，回归期为3年的降雨事件的损失范围可以是[1000000元，5000000元]，依此类推。值得注意的是，赔付金额区间的选取，会间接地对赔付结构曲线的形状增加一些限制。

以上两节详细描述了确定灾害强度等级和赔付金额时的考量，简而言之，需要确定每个强度等级的回归期区间以及相应的赔付金额区间。原则上，只要满足赔付结构的特性，选用这些区间内的任何值都可以构建一个合理的赔付结构。但构建一个更加完善的赔付结构在产品设计过程中还需要考虑更多的因素。例如，由此产生的赔付结构需要具有令人满意的风险溢价，还需要充分考虑政府财政资金预算的充足度及其使用效率，以及其过去10-20年历史平均损失率回溯或历史极端事件赔付与保费的比值，即资金放大倍数的合理性。

产品设计的数学抽象化

本部分详细说明如何将上述的指数产品设计逻辑通过数学语言抽象化，使其转化为数学优化问题。以降雨指数为例，进行产品设计的过程正是在解决一个优化问题，即从所有满足既定降雨量区间及赔付区间的结构中，找到保险定价接近预算，在发生极端事件时达到有效的资金放大倍数，并具有合理的历史赔付率的“最优”赔付结构。可以注意到赔付结构即是优化的变量，因此在第一步，需要将赔付结构以向量的形式进行数学表达。假设赔付结构有n层，其相对应的向量用x来表示，x可被定义为一个2n-1维的向量，如式（1）所示。其中前n个变量对应每层降雨量的下限和上限，由r₁到r_n表示。由于上层降雨量的上限等于下面一层降雨量的下限，因此仅需要n个变量即可；后n-1个变量则是随着降雨量增加而增加的每层赔付金额之间的差值，由s₁到s_n-1表示。由于最底层的赔付差额在我们定义的赔付结构中默认为零，所以仅需要n-1个变量即可。将这个2n-1维向量x称为优化变量。

而基于优化变量x，要解决的数学优化问题可被表示为：

其中，f（x）作为目标函数，用于定量反映保险定价，极端事件资金放大倍数，以及历史赔付率的合理性，目标函数值越小，对应的合理性越高。

以历史极端事件的资金放大倍数δ（x）为例，为确保其高于一定的阈值δ_L，目标函数f （x）可定义为f（x）=max（0,δ_L（x））。当且仅当δ（x）>δ_L，f（x）达到最小值0。式（2）可以理解为在优化变量x可以取值的优化空间中最小化目标函数f（x）。优化空间最大可为 2n-1，而由经验计算得到的降雨量区间、赔付区间以及赔付结构的特性会对该优化空间再加以约束，通过以下三种约束条件形式表现出来。

有界约束

针对优化变量x的有界约束可以表示为lb_i≤x_i≤ub_i，其中[lb_i，ub_i]构成了每一个变量x_i的可取值区间。在此问题中，第二部分提到的降雨量区间及赔付区间正好可以转化为这些约束界限。例如，如果我们假设第一层降雨量下限的回归期区间为1~2年，则lb₁应等于该站点回归期为1年的降雨量，而ub₁应等于回归期为2年的降雨量，以作为变量r₁的取值范围，这样设计的赔付结构能满足每1~2年至少触发一次赔付的目的。对于赔付差额，s₁，…，s_n-1应至少大于0，即lb_n+1=lb_n+2=…=lb_2n-1=0，以确保每层赔付金额随降雨量的增加而增加。而lb_n+1至lb_2n-1是否需大于0以及ub_n+1，ub_n+2，…，ub_2n-1的取值则还可以根据第二部分中描述的赔付区间加以定义。

不等式约束

用g_i(x)≤0来表示基于优化变量x的不等式约束，其中g_i可以为x的任意函数形式。在此问题中，不等式约束主要来自赔付结构的自身特性，或是对于赔付结构形状上的限制。例如，最明显的一个不等式约束为r₁≤r₂≤…≤r_n-1，即赔付结构中的降雨量应满足逐层递增的要求。而这n-1个不等式对应的g_i，1≤i≤n-1，可以表示为：

等式约束

与不等式约束类似，用h(x)=0表示基于优化变量x的等式约束，其中，h可以是x的任意函数形式。同样，为确保赔付结构的有效性，此问题中隐含的一个等式约束如下：

即赔付结构中所有层的赔付增量之和，应等于保额。如用h(x)的形式来表达，则为：

综上所述，将指数产品的设计过程转化为一个数学优化问题，优化的赔付结构由优化变量x表示。而对于优化问题所需的目标函数及优化空间，通过量化“保险定价、极端事件资金放大倍数及历史赔付率的合理性”以及将赔付结构的特性及其每层数值的变化区间转化为有界约束、不等式约束或等式约束来加以定义。在优化空间中对应目标函数最小值的优化变量x则是优化问题的解，也对应“最优”赔付结构。

优化算法介绍

优化概念的正式提出可追溯到17~18世纪的牛顿和拉格朗日时代。目前，众多优化算法已被开发出来，用于解决各种子领域中不同类型的优化问题。在常见的优化算法中，格点搜索（Grid Search）是相对简单且被广为应用的一种算法。格点搜索是一种基于预先指定的优化空间子集的详尽搜索过程。如图2所示，优化空间的子集由基于优化变量x的规则格点近似得到。

在此问题中，可以预先选择一个满足所有约束条件的赔付结构的集合（或等价的优化变量x的集合）。例如，优化变量x中，r₁的一组“合理”值可以是回归期为1年、1.5年和2年的降雨量；r₂的一组“合理”值可以是回归期为3年、4年和5年的降雨量；r₃, r₄, …, r_n，依此类推。在搜索过程中，通过评估每组赔付结构（如r₁=回归期为1年的降雨量，r₂=回归期为4年的降雨量等）的目标函数，选取其中达到最小目标函数值的那组作为优化问题的解。

格点搜索适用大多数类型的目标函数和约束条件，并且易于实现。然而，格点搜索的最大缺点是效率低。一个更专业的术语称为“维数灾难”（The Curse of Dimensionality），即如果优化变量x的维数很大（此问题即是这种情况），那么不可避免地会导致优化空间需要大量格点来近似，使对所有格点的目标函数评估计算成本高昂，甚至是不切实际的。例如，假设为x中的每个变量只分配3个候选数值，那么将有3^2n-1个赔付结构需要评估，其中n是赔付结构层数。对于一个6层结构，即n=6，则总共会有177147个候选赔付结构。如果有意减少候选数值，则无法保证最终得到的赔付结构能够满足预期。换言之，格点搜索得到的最小目标函数值可能仍然与真实的最小值有较大的距离。因此，优化问题需要采用更为高级的搜索算法。

为了选择最适合本应用的算法，首先要从以下几个方面来确定优化的问题类型。

线性优化与非线性优化

线性优化与非线性优化的区别取决于目标函数以及约束条件是否具有线性或非线性的函数形式。线性优化问题设定更为简单，通常更容易解决。对应线性优化问题的算法也已经非常成熟，并且其准确性和效率均已得到证实，如单纯形算法。但是，我们的目标函数和一些不等式约束采用的是非线性形式，更具体地说，是非线性、非凸且连续的，因此需要选取适用非线性、非凸且连续的函数形式的优化算法。

基于导数的优化与无导数优化

一般而言，基于导数的优化除了针对目标函数f(x)的评估以外，还需要增加梯度信息，即df(x)/dx，以确定优化迭代时的搜索方向。然而，当无法获得此梯度信息时，无导数优化算法提供了搜索最优解的替代方法。因为其中所定义的目标函数梯度没有解析解，所以我们的优化问题属于后者。尽管可以采用有限差分等方法对梯度进行近似，但其计算过程可能既烦琐又耗时。

全局优化与局部优化

全局优化是在优化变量x的整个可行的优化空间上搜索最优值，而局部优化则是在此空间的较小子集内（通常在起点附近）寻找最优值。即使是在存在全局最优解的情况下，全局优化问题也是很难解决的。由于我们并不需要找到“最”合理的赔付结构，因此局部优化算法足以满足我们的需求。综合考虑所有影响因素，是否存在具有“最”合理的保险定价、极端事件资金放大倍数以及历史赔付率的赔付结构仍是值得商榷的。我们的目标只是提供一个具有相对合理性的赔付结构，作为产品设计的起点。

综上所述，我们需要解决的是一个针对非线性、非凸且连续的函数形式的、无导数的局部优化问题，因此选择的算法应该适用此类问题。此外，我们的算法应能够支持三种类型的约束。图3和图4显示了最终选择的优化算法的迭代示例。随着优化变量x在二维横截面中的跳动（A为起点，B为终点，图中所示为正则化的优化空间），目标函数值逐渐减小并收敛到最终的稳定状态，也说明了经过迭代，最终得到了具有更好保险定价、更高资金放大倍数以及历史赔付率的合理赔付结构。

优化算法评估

本节将通过上述选择的算法对全国各地进行降雨指数产品设计，并就历史损失率、资金放大倍数的合理性等方面对所得的产品加以评估。以山东省某地为例，表2和图5展示了基于该地区降雨数据及优化算法所得的降雨指数产品方案。该产品方案每层定义的降雨量及赔付区间满足第二部分中提到的所有赔付结构特性（如赔付金额随降雨量增加而增加等）。

图6展示了基于优化得到的赔付区间的赔付频率（每1.05年一次）以及近20年历史赔付率，如圆圈所示。我们也随机选取了其对应优化变量x邻近区域中的其他具有相似保险定价的10个赔付结构，并基于赔付频率和历史赔付率标注在图中。可以看到，优化算法推荐的赔付结构具有最高的近20年历史赔付率以及第二高的赔付频率（两者组合为最优，对应目标函数最小值），进一步证明了我们的算法能够在局部优化空间中找到最优解。值得一提的是，我们对算法的运行时间也作了相应评估。目前，完成一次产品设计优化过程仅需10~15秒。

图7和图8展示了针对全国各地优化所得的降雨指数产品的赔付频率和近20年最大历史赔付率。其中，图7的竖轴为赔付频率，越低则代表赔付越频繁；而图8的竖轴为历史赔付率。横轴表示对应各个赔付频率及历史赔付率的产品数量。令人满意的是在重点关注的省份绝大部分赔付结构的赔付频率为每1~1.5年一次。而不同地区的历史赔付率差异显著，对于历史上发生过严重灾害的地区，其历史赔付率较高；对于历史上近年来暂未发生严重灾害的地区，其历史赔付率较低，但仍存在中小规模的赔付。值得一提的是，虽然一些地区的历史赔付率较低，其未来发生严重降雨事件的可能性依然存在，可以通过先进的降雨时序模型，基于历史降雨数据模拟出更长回归期的极端降雨事件，加入产品设计的考量⁴，以确保得到的降雨产品不会低估未来的降雨风险，进而体现保险保障的充分性。

最后，针对历史上大型的降雨事件对相应的赔付进行评估。以上文提到的2017年内蒙古通辽市为例，超过250毫米/日降雨量的有史以来最大暴雨造成直接经济损失5亿元以上，而整个降雨过程最大三日累计降雨量高达380毫米^1、2。依据算法建议的保险方案，该极端灾害事件对应最后一个赔付层，即整个结构的最高赔付。在该市1000万元保费预算的前提下，赔付金额可达2亿元，资金放大倍数为20倍。再以2013年的台风“尤特”为例，台风“尤特”于8月14日15时50分前后在广东省阳西县附近沿海登陆，登陆时中心附近最大风力有14级（42米/秒），中心最低气压为955百帕⁵，伴随超强台风的特大暴雨使14个地面观测站降雨量超过500毫米⁶。广东省19个地市有不同程度的受灾⁷，其中韶关市10个县（市、区）90个乡镇的33.3万多人受灾，直接经济损失达8.4亿元⁸。与内蒙古特大暴雨相似，台风“尤特”带来的特大暴雨在算法建议的赔付结构中同样对应在最大赔付层。如果保险方案的保费为1000万元，该降雨事件的赔付金额为1.5亿元，对应15倍的资金放大倍数。虽然2013年台风“尤特”导致的直接经济损失更高，但该损失同时包括了台风及降雨的影响，基于我们对于两场降雨严重程度的分析，内蒙古特大暴雨作为相对更为极端的事件，其资金放大倍数也略高于台风“尤特”。

本文详细介绍了基于“小灾小赔，大灾大赔”理念的指数类巨灾保险产品设计逻辑，并将其转化为一个数学优化问题，通过合适的优化算法实现了产品设计的自动化解决方案。指数产品的设计需要先“因地制宜”地对灾害强度及赔付金额进行考量，得出针对不同回归期的灾害强度区间及相应的赔付金额区间，再通过保险定价、资金放大倍数、历史赔付率等选择较为合理的赔付结构。实现以上逻辑正是一个数学优化过程。将赔付结构转化为优化变量，在由灾害强度、赔付金额区间及结构特性限制的优化空间内，搜索具有相对合理的保费、资金放大倍数及历史赔付率的“最优”变量，而解决这个优化问题需要针对非线性、非凸且连续函数形式的、无导数的局部优化算法。对全国各地使用该优化算法进行降雨指数产品设计测试，所得的赔付结构均符合其结构特性，且在计算时长及历史回溯验证中均有令人满意的表现，证明了该算法的效率及有效性。

^{注释:
① 基于当地历史降雨数据测算回归期及对应的降雨量的方法可参考赵浩然、应雯雯（2021）}

^{参考资料:
[1] 中国天气网内蒙古站. 内蒙古通辽首现特大暴雨 打破56年来雨量极值纪录 [EB/OL]. (2017-08-03) [2022-04-25]. http://news.weather.com.cn/2017/08/2751276.shtml
[2]中国天气网内蒙古站. 内蒙古通辽暴雨洪涝损失5亿元 未来三天中东部将有雨 [EB/OL].(2017-08-05)[2022-04-25].http://news.weather.com.cn/2017/08/2752412.shtml
[3]广东省水利厅. 广东省2020年水旱灾害公报 [EB/OL]. (2021-12-22)[2022-04-25].http: //slt.gd.gov.cn/shzh/index.html
[4]赵浩然，应雯雯. 降雨指数类保险定价模型研究 [J]. 保险理论与实践，2021 (5): 16.
[5] 中国新闻网. 强台风“尤特”已在广东阳西县登陆 最大风力14级[EB/OL]. （2013-08- 14）[2022-04-25].https://www.chinanews.com.cn/gn/2013/08-14/5162473.shtml
[6] 羊城晚报. “尤特”致广东4人死亡4人失踪 直接经济损失36亿[EB/OL].（2013-08-17）[2022-04-25].https://www.chinanews.com.cn/gn/2013/08-17/5174234.shtml
[7] 羊城晚报. 洪涝灾害致广东19地市直接经济损失134.46亿元[EB/OL].（2013-08-22）[2022-04-25].https://www.chinanews.com.cn/gn/2013/08-22/5194964.shtml
[8] 广州日报. 韶关：直接经济损失8.4亿元[EB/OL]. （2013-08-20）[2022-04-25].http://covid-19.chinadaily.com.cn/hqgj/jryw/2013-08-20/content_9896950.html}